توضیحات

مدول های هم درون برپوشا و حلقه های هم ایده آل راست اصلی

هدف از این پایان­ نامه­ ، بررسی مقاله “مدول­های هم­درون­برپوشا و حلقه­های هم­ایده­آل ­راست اصلی” از دکتر قربانی است . مدول M هم­درون­برپوشا نامیده­می­شود اگر شامل تصویری از هر مدول خارج قسمتیخود باشد . ثابت می­شود حلقهR ، یک حلقه هم­ایده­آل­راست اصلی(یعنی R_Rهم­ درون­برپوشاست) وکاهشی است اگروتنهااگر R حاصلضرب

متناهی از حلقه­های تقسیم باشد. نشان داده­ می­شود یک حلقه جابجایی، حلقه مورفیک راست اصلی­ است اگر و تنها اگر حلقه هم­ایده­آل راست اصلی باشد. ارتباط­های شبه

دوگانی برای مدول­های درون­برپوشا وهم­درون­برپوشا بیان می­شود. ثابت می­شود اگر R یک حلقه ایده­آل­چپ­ اصلی و R_Rخود- هم-مولد باشد آنگاه R، حلقه هم­ایده­آل راست اصلی است.

 ۶۸صفحه فایل ورد (Word) فونت ۱۴ منابع دارد  

پس از پرداخت آنلاین میتوانید فایل کامل این پروژه را دانلود کنید

فهرست مطالب

عنوان                                                                            صفحه

۱     مقدمه……………………………………………………………… ۱

۱–۱   مقدمه…………………………………………………………… ۲

۱-۲   تعاریف و قضایای مقدماتی…………………………………………… ۳

۲    مدول­های هم­درون­برپوشا و حلقه­های هم­ایده­آل راست اصلی…….. ۱۳

مدول های هم درون برپوشا و حلقه های هم ایده آل راست اصلی

۲-۱  مدول­های هم­درون­برپوشا و حلقه­های هم­ایده­آل راست اصلی……………….. ۱۴

۲-۲   دوگان مدول­های درون­برپوشا و هم­درون­برپوشا…………………………. ۴۰

فهرست منابع…………………………………………………………. ۵۴

واژه­نامه فارسی به انگلیسی…………………………………………… ۵۵

واژه­نامه انگلیسی به فارسی…………………………………………… ۵۸

فهرست شکل­ها

عنوان                                                                            صفحه

۱-۲-۱٫ R-  مدول پروژکتیو M………………………………………….  ۶

۱-۲-۲٫ R-  مدول انژکتیو  M…………………………………………..  ۶

۱-۲-۳٫ R-  مدول انژکتیو  M(لم بئر) ……………………………………  ۶

۲-۱-۱٫ R-  مدول پروژکتیو Rⁿ…………………………………………  ۱۹

۲-۱-۲٫ R-  مدول پروژکتیو M………………………………………….  ۵۱

فصل اول

مقدمه

مدول های هم درون برپوشا و حلقه های هم ایده آل راست اصلی

در این فصل برخی تعاریف، قضایای مقدماتی و پیشنیاز بیان می­شود. فرض بر این است خواننده با مفاهیم اولیه حلقه­ها و مدول­ها آشنایی دارد.

۱-۱٫ مقدمه 

ابتدا تاریخچه­ای مختصر ازمدول­هایدرون­بر^[۱]، هم­درون­بر^[۲]،­درون­بر­پوشا^[۳] وهم­درون­­­پوشا^[۴] ارائه

­می­دهیم. اولین باردرسال۱۹۷۹ توسط خوری^[۵] مفهومی به نام مدول­های­درون­بر معرفی شد. R -مدول Mدرون­بر گفته ­می­شود هرگاه به­ازای­ هرزیر­مدول غیرصفرN از M، داریم :

Hom_R(M,N)¹۰٫ درسال­های ­بعد مفهوم درون­بری توسط مولفان دیگرازجمله ژئو^[۶]، ریزوی^[۷]­و رومن^[۸] واخیراً توسط­اسمیت^۹، حقانی­ و ودادی مورد تحقیق و بررسی قرارگرفته ­است. سپس در سال۲۰۰۷ مفهوم­دوگانی از درون­بری به نام هم­درون­بری توسط امینی، ارشاد و شریف ارائه شد.

مدول Mهم­درون­بر گفته ­می­شودهرگاه به ­ازای­ هرزیر­مدول سرهN  از  M، داشته باشیم :

مدول های هم درون برپوشا و حلقه های هم ایده آل راست اصلی

Hom_R(M/N , M) ¹۰٫ سپس مفهوم مدول­های درون­بر­پوشا توسط قربانی و ودادی در سال ۲۰۰۹ ارائه شدکه توسیعی از مفهومحلقه­pri می­باشد.

حلقه R، حلقه­ ایده­آل­ راست اصلی یا به اختصار حلقه­pri، نامیده ­می­شود ­هرگاه، هر ایده­

آلراست آن اصلی باشد. توسیع این مفهوم درمدول­ها درون­برپوشایی نامیده ­شده­است.

یکR-مدول­راست M درون­برپوشا گفته­ می­شود هرگاه به ­ازای­ هرزیر­مدول غیرصفر N ازMهمریختی غیرصفرپوشایی از M به N موجود باشد. بنابر قضیه اول یکریختی و با توجه به این

نکته که  یک مدول اصلی یکریخت با  R/Iاست،حلقهRیک حلقه­pri است اگر و تنها اگرمدول R_R درون­برپوشا باشد. دوگان این مطلب به­نام هم­درون­برپوشایی توسط قربانی ارائه شده­

است. R -مدول M هم­درون­برپوشا گفته­می­شود هرگاه به ­ازای­ هرزیر­مدول سره N ازM همریختی غیرصفریک­به­یکی از M/N به M موجودباشد.

در این پایان­نامه مفهوم هم­درون­بر­پوشایی، قضایای مربوطه ودوگان­ آن تحقیق می­شود که برگرفته از مرجع ]۳[ می­باشد.

۱-۲٫ تعاریف وقضایای مقدماتی

در سراسر این پایان­نامه حلقه­ها شرکت­پذیر و یکدار می­باشند. (تمام مدول­هامدول راست

مدول های هم درون برپوشا و حلقه های هم ایده آل راست اصلی

می باشند.) درابتدا یادآوری، سپس تعاریف اولیه و بعد قضایای مقدماتی به صورت نکته و لم بیان می­شود.

یادآوری

فرض­کنیدRیک حلقه باشد.R  -مدول M را ساده گویند اگر زیرمدول غیربدیهی نداشته باشد.

مدول M نیم­ساده نامیده ­می­شود اگر هر زیرمدولش یک جمعوند آن باشد.

زیرمدولLازM اساسی ­نامیده ­می­شود و می­نویسیم ­Lv_ess M هرگاه به ­ازای هر  N £ MاگرL ∩ N = 0، آنگاه =۰N . به­طور معادل L v_ess M  اگر و تنها اگر به ­ازای­ هر عنصر ناصفر xÎM،rÎRموجود باشد به­طوری­که  ۰ ¹ xrÎ L.

زیرمدولKازMزاید ­نامیده­ می­شود و می­نویسیم K<< M،­هرگاه به ­ازای هر  N £ M  اگرK + N = M  آنگاه = M N.

فرض کنیدM  یک R- مدول راست باشد، X زیرمجموعه­ای از M و Y همزیرمجموعه­ای ازR،

مدول های هم درون برپوشا و حلقه های هم ایده آل راست اصلی

پوچساز راست X در R  باr_R (X)و پوچسازچپY در  M با l_M (Y) نمایش داده­  می­شود و تعریف می­کنیم :

r_R (X) = { r Î R : X r = 0 }            l_M (Y) ={ m Î M : mY = 0 }

همچنین برای S- مدول چپ N ، r_N (Z)وl_S (W)  به­طور مشابه برای هر Z ÍSو هر

W ÍNبه صورت زیر تعریف می­شود :

r _N  (Z) ={ n Î N : Z n = 0 }           l _S (W) = { s Î S : sW = 0 }

اگر  X = {a}،آنگاه پوچساز راست آنبا  r_R (a ) نشان داده­ می­شود و داریم :

r_R (a)= r_R (X) و نیز   l_R (a)= l_R (X).

با استفاده از قضیه ۲-۱۵ از مرجع [۱] نتایج زیر را داریم :

اگر Aو Bدو زیرمجموعه R – مدول راستM  باشند و AÍ Bآنگاه r_R (B)Ír_R (A) . بوضوحÍl_M (r_R (A))Aو می­توان نتیجه گرفت (A))) Í r_R (A)  r_R (l_M (r_R. از سوی دیگر با قرار دادن  C= r_R (A)درC Íl_M (r_R (C))(به­ازای هرC Í R)داریم :

r_R (A) Ír_R(l_M (r_R (A)))پس (A))) Í r_R (A)  r_R (l_M (r_R؛

در نتیجه(A))) = r_R (A)  r_R (l_M (r_R.

به طریق مشابه اگر Iو Jدو زیرمجموعه Rباشند و I Í J،آنگاه l_M (J)Íl_M (I) . بوضوح

مدول های هم درون برپوشا و حلقه های هم ایده آل راست اصلی

I Í r_R (l_M (I)) و می­توان نتیجه گرفت : l_M (r_R (l_M (I)))=l_M (I) .

اگرMیک R -مدول و Uیک کلاس از R-مدول­ها باشدTr (M ,U )و Rej (M, U )به­ صورت زیر تعریف می­شوند که زیرمدول­هایی از M می­باشند.

Tr (M ,U )=å { Im f | f : u_a→ M  ,   u_aÎUبرای برخی}

Rej (M, U )=∩ {ker f | f : M → u_a  ,    u_aÎU  برای برخی}

اگر S مجموعه تمام R-مدول­های راست ساده باشد،به­ازای هر R– مدولM،Soc (M_R)    بزرگترین زیرمدولنیم­ساده M است و با توجه به بخش۹ از مرجع [۱]  به صورت زیر تعریف می­شود :

Soc(M_R) =Tr (M ,S) = å{K | است Mیک زیرمدول ساده ازK}

=∩{L | L v_essM }.

همچنین R-  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر  soc(M_R) = M_R .

ضمناً به سادگی دیده­ می­شود R-  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر زیرمدول اساسی غیر بدیهی نداشته­باشد.

۱٫Retractable

۲٫Co-retractable

۳٫Epi-retractable

۴٫Co-epi-reractable

۵٫S.M.Khuri

۶٫Z.P.Zhou

۷٫S.T.Rizvi

۸٫C.S.Roman

۹٫P.F.Smith