توضیحات

پایان نامه حساب تغییرات

در این پایان­ نامه یک مسئله حساب تغییرات با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ تبدیل به مسئله مقدار مرزی می­شود و سپس این مسئله مقدار مرزی با استفاده از اسپلاین غیر

چند جمله‌ای که به درجه پنجم تقلیل می‌یابد، حل می­شود و یک روش عددی از مرتبه شش بدست می­آید و همگرایی روش نیز بحث شده است و مثالهای عددی ارائه گردیده است که شامل مطالب زیر است:

در فصل اول به ارائه تعاریف وتاریخچه مسئله حساب تغییرات پرداخته شده وهمچنین

چگونگی بوجود آمدن مسئله مقدار مرزی از حساب تغییرات بررسی شده است و نیز مثالهایی از این نوع مسائل آورده شده است.

در فصل دوم تاریخچه تعریف اسپلاین و تاریخچه به­کارگیری اسپلاین در حل معادلات

دیفرانسیل بحث شده و همچنین روابط سازگار اسپلاین مثلثاتی که به اسپلاین درجه سوم تقلیل می­یابد آورده شده است.

پایان نامه حساب تغییرات

در فصل سوم موضوع اصلی تحقیق که یافتن رابطه اسپلاین غیر­چند­جمله­ای که به درجه

پنجم تقلیل می‌یابد، محاسبه خطا و آنالیز همگرایی روش می­باشد بررسی شده است.

در فصل چهارم با استفاده از روابط بدست آمده در فصل سوم به حل عددی مسئله حساب

تغییرات پرداخته و نتایج عددی آورده شده و بالاخره نتایج و پیشنهاداتی آورده شده که می­تواند مورد استفاده پژوهشگران قرار گیرد.

 ۹۷صفحه فایل ورد (Word) فونت ۱۴ منابع دارد  

پس از پرداخت آنلاین میتوانید فایل کامل پایان نامه حساب تغییرات را دانلود کنید

فهرست مطالب پایان نامه حساب تغییرات

عنوان                                                                                                            صفحه

فصل اول: مقدمه و کلیات

۱-۱-        مقدمه …………………………………………………………………………………………………………………۲

۱-۲-        آنالیز عددی…………………………………………………………………………………………………………۳

۱-۳-        درونیابی……………………………………………………………………………………………………………….۴

۱-۴-        معادله دیفرانسیل………………………………………………………………………………………………….۴

۱-۵-        ماتریس……………………………………………………………………………………………………………….۱۰

۱-۶-        بسط تیلور…………………………………………………………………………………………………………..۱۱

۱-۷-        خطای برشی……………………………………………………………………………………………………….۱۲

۱-۸-        فانکشینال……………………………………………………………………………………………………………۱۲

۱-۹-        معادله اویلر- لاگرانژ………………………………………………………………………………………….۱۲

۱ -۱۰- حساب تغییرات…………………………………………………………………………………………………..۱۳

فصل دوم: مروری بر پیشینه تحقیق

۲-۱- مقدمه ……………………………………………………………………………………………………………….۲۹

۲-۲- تاریخچه تعریف اسپلاین …………………………………………………………………………………….۳۰

۲-۳- تاریخچه به­کارگیری اسپلاین در حل معادلات دیفرانسیل

پایان نامه حساب تغییرات

…………………………………۳۲

۲-۴- تعریف اسپلاین ریاضی………………………………………………………………………………………..۳۴

۲-۵- تابع اسپلاین غیرچندجمله­ای درجه سه…………………………………………………………………۳۵

پایان نامه حساب تغییرات

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                             صفحه

فصل سوم: تجزیه و تحلیل اسپلاین غیرچندجمله­ای درجه پنجم

۳-۱- مقدمه………………………………………………………………………………………………………………….۴۲

۳-۲- تابع اسپلاین درجه پنجم غیرچندجمله­ای……………………………………………………………۴۳

۳-۳- حل عددی معادله مرتبه دوم………………………………………………………………………………۴۹

۳-۴- آنالیز همگرایی…………………………………………………………………………………………………..۵۶

۳-۵- محاسبه خطا……………………………………………………………………………………………………….۶۲

فصل چهارم: نتایج عددی

۴-۱- مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………۶۷

۴-۲- حل عددی مسئله حساب تغییرات………………………………………………………………………۶۸

۴-۳- مثال­هایی از حساب تغییرات……………………………………………………………………………….۶۸

۴-۴- نتیجه­گیری…………………………………………………………………………………………………………۸۳

منابع…………………………………………………………………………………………………………………………….۸۴

پایان نامه حساب تغییرات

فهرست جداول

عنوان                                                                                                             صفحه

جدول ۱-۱:جدول جواب برای مثال عددی حل عددی دستگاه به روش نیوتن………………………………………….. ۹

جدول ۴-۱: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال ۱…………………………………………………………………………۷۱

جدول ۴-۲: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال ۲ ……………………………………………………………………….۷۵

جدول ۴-۳: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال ۳ ……………………………………………………………………….۷۸

جدول ۴-۴: جدول قدرمطلق بیشترین خطا برای مثال ۴ ……………………………………………………………………….۸۱

فصل اول

مقدمه و کلیات

۱-۱-       مقدمه

فصل حاضر به ارائه تعاریف و مفاهیمی می‌پردازد که در سراسر تحقیق مورد استفاده قرار می‌گیرند. ابتدا تعاریفی از آنالیز عددی[۱] و درونیابی[۲] ارائه می‌شود. سپس تعاریفی از معادلات دیفرانسیل[۳] که به جهت تجزیه و تحلیل مسائل حساب تغییرات[۴] به این عرصه

پایان نامه حساب تغییرات

وارد شده‌اند، صورت خواهند گرفت و به دنبال آن انواع ماتریس‌ها[۵] مطالعه می‌شود. بعد از آن به مسئله حساب تغییرات و حل مثالهایی از این نوع مسئله، پرداخته می‌شود.

فصل دوم به مروری در خصوص تاریخچه و پیشینه‌ای از تحقیقات صورت گرفته اختصاص دارد. همچنین تاریخچه به کارگیری اسپلاین

[۶] در حل معادلات دیفرانسیل معرفی می‌گردد و در آخر تابع اسپلاین درجه سه غیرچند جمله‌ای[۷] شرح داده می‌شود.

در فصل سوم ابتدا به تجزیه و تحلیل تابع اسپلاین درجه پنجم[۸] غیرچندجمله‌ای پرداخته می‌شود و فرمول اسپلاین درجه پنجم غیرچندجمله‌ای به دست می‌آید و پس از آن آنالیز

همگرایی[۹] روش بحث می‌شود و سپس به محاسبه خطای[۱۰] این نوع اسپلاین پرداخته می‌شود.

در نهایت، فصل آخر هم به حل عددی مسئله حساب تغییرات پرداخته می‌شود و همچنین

برخی منابع به جهت مطالعه موضوعات مرتبط با تحقیق ارائه می‌شود که می‌تواند کمکی به شروع تحقیقات آینده باشد.

مطالب این فصل با توجه به منابع شماره۳۳،۳۰،۲۱،۱۹،۱۴،۱۳،۱۲،۱۱،۱۰،۹،۸،۷،۶،۵،۳،۲،۱ ارایه شده است.

پایان نامه حساب تغییرات

۱-۲-       آنالیز عددی

آنالیز عددی الگوریتم حل مسئله در ریاضیات پیوسته (ریاضیاتی که بعد از ریاضیات گسسته است) را مورد مطالعه قرار می‌دهد. آنالیز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغیرهای

حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق می‌شود، می‌پردازد. تعدادی از مسائل در

ریاضیات پیوسته دقیقاّ با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال روش حذف گاوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل

خیلی از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود. چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.

تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترین قسمت‌های آنالیز عددی است. این

خطاها در روش‌های تکرارشونده وجود دارد. چون به هر حال جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روشهای مستقیم برای حل مسئله

پایان نامه حساب تغییرات

استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می‌آید. در آنالیز عددی می‌توان مقدار خطا را در خود روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.

الگوریتم‌های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای مثال از این الگوریتم‌ها در طراحی

بناهایی مانند پل ها، در طراحی هواپیما، در پیش بینی آب و هوا، تهیه نقشه‌های جوی از

زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده می‌شود.

همچنین اکثر ابر رایانه‌ها به طور مداوم براساس الگوریتم‌های آنالیز عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به طور کلی، آنالیز عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل، استفاده می‌کند.

۱-۳- درونیابی[۱۱]

در آنالیز عددی، درونیابی یک روش ساختن نقاط فرض شده جدید از یک مجموعه مجزا از نقاط داده شده معلوم است. یک مسئله متفاوت که تقریباّ مربوط به درونیابی است، تقریبی

پایان نامه حساب تغییرات

از یک تابع پیچیده توسط یک تابع ساده است. انواع مختلفی از درونیابی در ریاضیات وجود دارد. برای مثال: درونیابی ثابت تکه‌ای[۱۲]، درونیابی خطی[۱۳]، درونیابی چندجمله‌ای[۱۴]، درونیابی اسپلاین[۱۵]، درونیابی بوسیله فرآیند گاوس[۱۶].

۱-۳-۱- درونیابی اسپلاین

درونیابی اسپلاین از چندجمله‌ای درجه پایین در هر بازه استفاده می‌کند و قطعه‌های چندجمله‌ای انتخاب می‌کند بطوریکه آنها، با همدیگر به طور یکنواخت متناسب باشند.

۱-۴-     معادله دیفرانسیل[۱۷]

هر رابطه بین متغیر تابع و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل می‌نامند.

۱-۴-۱- معادله دیفرانسیل معمولی[۱۸]

اگر یک معادله دیفرانسیل فقط یک متغیر تابع و یک متغیر مستقل داشته باشد، معادله دیفرانسیل را معمولی گویند. بنابراین فرم کلی یک معادله دیفرانسیل معمولی به صورت زیر است:

۱-۴-۲- مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم[۱۹]

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ، ، با شرایط مرزی را مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم می‌نامیم.

۱-۴-۳- دستگاه معادلات غیرخطی[۲۰]

شکل کلی یک دستگاه از معادلات غیرخطی عبارت است از:

پایان نامه حساب تغییرات

که در آن هر فضایبعدی را به توی خط حقیقی می‌نگارد.

۱-۴-۴- حل عددی دستگاه معادلات غیرخطی

فرض کنید برای تابعی غیرخطی از به باشد در دستگاه معادلات غیر خطی زیر:

هدف به دست آوردن نقطه‌ای مانند است، به گونه‌ای که در همه‌ی معادله‌های دستگاه بالا صدق کند.

تابع از به را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

که در آن برداری در است. پس دستگاه به شکل زیر است:

و ما به دنبال بردار هستیم، به گونه‌ای که داشته باشیم .

پایان نامه حساب تغییرات

تعریف: مجموعه‌ی را محدب می‌گوییم، هر گاه برای هر دو نقطه‌ی y,x متعلق به و برای هر داشته باشیم:

تعریف: هرگاه عددی صحیح و نامنفی بوده و همچنین زیر مجموعه‌ای از باشد، مجموعه‌ی تابع‌هایی از به را که مشتقام آن‌ها پیوسته است با نشان می‌دهیم.

تعریف: ماتریس ژاکوبین تابع را در نقطه‌ی با نشان می‌دهیم، به گونه‌ای که:

۱-۴-۵- روش نیوتن

فرض کنید . همچنین فرض کنید ، جواب دقیق دستگاه F(x)=0 باشد، پس .

برای عدد صحیح نامنفی را بردار به دست آمده از روش نیوتن در مرحله‌ی ام در نظر

پایان نامه حساب تغییرات

می‌گیریم و می‌دانیم بسط تیلور تابع چند متغیره‌ی F عبارت است از:

قرار می‌دهیم پس:

هرگاه به اندازه‌ی کافی به نزدیک باشد، می‌توانیم قرار دهیم:

پس اگر ماتریسی نامنفرد باشد، داریم:

اینک بردار جدید را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

پس در حالت کلی، در این روش با انتخاب بردار اولیه‌ی برای تا زمانی که شرط توقف برقرار شود، نخست دستگاه:

را حل کرده و سپس قرار می‌دهیم:

مثال : برای دستگاه دو معادله و دو مجهول غیرخطی:

پایان نامه حساب تغییرات

جواب دقیق دستگاه است، اینک قرار می‌دهیم:

ماتریس ژاکوبی تابع بالا عبارت است از: ……………………………… پایان نامه حساب تغییرات پایان نامه حساب تغییرات پایان نامه حساب تغییرات پایان نامه حساب تغییرات

پایان نامه حساب تغییرات